شیکردنەوەی جووڵەی دوو تەن لەژێر کاریگەری هێزی کێشکردنی دوولایەنەدا

ئێستا، با تەنی دووەم، m₂، بۆ سیستەمەکە زیاد بکەین و لە ژێر کاریگەری هێزی کێشکردنی دوولایەنەدا شیکردنەوە بۆ جووڵەی هەردوو تەنەکە بکەین. هەوڵ دەدەم بە پشتبەستن بە یاساکانی نیوتن و تەنها بەبەکارهێنانی پرنسیپە سەرەتاییەکان بەبێ هیچ ئاڵۆزکردنێکی ناپێویست هاوکێشەکانی جووڵە بۆ هەر تەنێک دابڕێژمەوە.

شیکردنەوە بۆ دوو تەن لەژێر کاریگەری هێزی کێشکردنی دوولایەنەدا

گریامن دوو تەنمان هەیە بە بارستاییەکانی m₁ و m₂، لە شوێنەکانی r₁(t) و r₂(t) لە بۆشایی سێ ڕەهەندیدا. بێگوومان ئەم دوو تەنە هێزی کێشکردنی گەردوونی لە نێوانیاندایە.

هێزی کێشکردنی گەردوونی لە نێوان دوو تەندا

بەپێی یاسای کێشکردنی گەردوونی نیوتن، هێزی کێشکردنی گەردوونی کە m₂ لە m₁ دەکات بریتییە لە:

\[F_{12} = -G \frac{m_1 m_2}{|r_1 - r_2|^2} \hat{r}_{12},\]

لەوێدا:

  • G نەگۆڕی کێشکردنی گەردوونییە.
  • \(\hat{r}_{12} = \frac{r_1 - r_2}{|r_1 - r_2|}\) ڤێکتەرێکە کە لە m₂ ـەوە بۆ m₁ ئاڕاستە کراوە.
  • |r₁ - r₂| دووری نێوان m₁ و m₂ یە.

ئەم هێزە دەکرێت بە شێوەی ڤێکتەریش بنووسرێت:

\[F_{12} = -G \frac{m_1 m_2}{|r_1 - r_2|^3} (r_1 - r_2).\]

بە هەمان شێوە، هێزی کێشکردنی گەردوونی کە m₁ لە m₂ دەکات بریتییە لە:

\[F_{21} = -G \frac{m_1 m_2}{|r_2 - r_1|^3} (r_2 - r_1).\]

تێبینی بکە کە F₂₁ = -F₁₂، کە لەگەڵ یاسای سێیەمی نیوتندا یەک دەگرێتەوە (کردار و کاردانەوە یەکسانن و پێچەوانەن) ئەم تێبینییە زۆر گرنگە، دواتر دەیبینیت کە وەکو چارەسەر بۆ کێشەی دوو تەن سوودی لێ دەبینمەوە...

هاوکێشەکانی جووڵە بۆ هەر تەنێک

بە بەکارهێنانی یاسای دووەمی جووڵە، خێرایی هەر تەنێک لەگەڵ تێکڕای هێزی پاڵنەری کارکردوو لەسەری ڕێژەیی دەبێت :

بۆ تەنی m₁:

\[m_1 \frac{d^2r_1}{dt^2} = F_{12}.\]

جێگۆڕکێ بۆ دەربڕینی F₁₂ بکە:

\[m_1 \frac{d^2r_1}{dt^2} = -G \frac{m_1 m_2}{|r_1 - r_2|^3} (r_1 - r_2).\]

سادەی بکەرەوە بە لابردنی m₁:

\[\frac{d^2r_1}{dt^2} = -G \frac{m_2}{|r_1 - r_2|^3} (r_1 - r_2).\]

بۆ تەنی m₂:

\[m_2 \frac{d^2r_2}{dt^2} = F_{21}.\]

جێگۆڕکێ بۆ دەربڕینی F₂₁ بکە:

\[m_2 \frac{d^2r_2}{dt^2} = -G \frac{m_1 m_2}{|r_2 - r_1|^3} (r_2 - r_1).\]

سادەی بکەرەوە بە لابردنی m₂:

\[\frac{d^2r_2}{dt^2} = -G \frac{m_1}{|r_2 - r_1|^3} (r_2 - r_1).\]

وچانێک بۆ تێگەیشتن لە هاوکێشەکانی جووڵە

هەر یەک لەم هاوکێشانە وەسفی خێرایی یەک تەن دەکەن کە بەهۆی هێزی کێشکردنی گەردوونییەوە لەلایەن تەنەکەی ترەوە کێشدەکرێت:

  • خێرایی m₁ بەرەو m₂ ئاڕاستە کراوە و پێچەوانە ڕێژەییە لەگەڵ دووجای دووری نێوانیان.
  • بە هەمان شێوە، خێرایی m₂ بەرەو m₁ ئاڕاستە کراوە و هەمان یاسای دووجای پێچەوانە پەیڕەو دەکات.

ئەم هاوکێشانە سیستەمێکی پێکەوەبەستراوی هاوکێشە داتاشراوە پلە دووەکان پێکدەهێنن. پێکەوە دەتوانن وەسفی ئەوە بکەن کە چۆن بە تێپەڕبوونی کات و لە ژێر کاریگەری کێشکردنی دوولایەنەدا شوێنی تەنەکان r₁(t) و r₂(t) دەگۆڕێن.

کەمکردنەوە بۆ جووڵەی ڕێژەیی

بۆ سادەکردنەوەی شیکردنەوەکە، دەتوانین بە خستنەڕووی دەربڕینیکی جیاوازتر و بە شێوەیەکی ڕێژەیی، بۆ وەسفکردنی جووڵەکە، گۆڕاوەکان بگۆڕین بۆ چەقی بارستایی و شوێن .

نموونەی ئەم شوێنە ڕێژەییە دەبێتە :

\[r = r_1 - r_2\]

ئەم دەربڕینە نوێنەرایەتی شوێنی ڕێژەیی m₁ دەکات بە بەراورد بە m₂.

بۆیە چەقی بارستاییەکە دەبێتە :

\[R = \frac{m_1 r_1 + m_2 r_2}{m_1 + m_2}\]

ئەم دەربڕینەش نوێنەرایەتی شوێنی چەقی بارستایی سیستەمی دوو-تەنەکە دەکات.

هاوکێشەکانی جووڵە بە دەربڕینی شوێنی ڕێژەیی

ئێستا هاوکێشەکانی جووڵە بە دەربڕینی r و R دەردەبڕین:

جووڵەی ڕێژەیی:

خێراییەکی ڕێژەیی نێوان m₁ و m₂ بریتییە لە:

\[\frac{d^2r}{dt^2} = \frac{d^2r_1}{dt^2} - \frac{d^2r_2}{dt^2}.\]

جێگۆڕکێ بۆ هاوکێشەکانی d²r₁/dt² و d²r₂/dt² بکە:

\[\frac{d^2r}{dt^2} = -G \left(\frac{m_2}{|r|^3}r + \frac{m_1}{|r|^3}(-r)\right).\]

سادەی بکەرەوە بۆ:

\[\frac{d^2r}{dt^2} = -G\frac{m_1 + m_2}{|r|^3}r.\]

ئەمە هاوکێشەی جووڵەیە بۆ ڤێکتەری شوێنی ڕێژەیی r، دەبینیت کە پیشانی دەدات جووڵەی ڕێژەیی هەردوو تەنەکە هاوتایە لەگەڵ جووڵەی تەنێکی تاک لەژێر کاریگەری هێزی کێشکردنی گەردوونی بەهۆی بارستاییەکی تێکەڵکراوی m₁ + m₂.

جووڵەی چەقی بارستایی:

لەبەر ئەوەی هیچ هێزێکی دەرەکی نییە، چەقی بارستایی بە خێراییەکی نەگۆڕ دەجووڵێت:

\[\frac{d^2R}{dt^2} = 0.\]

چارەسەری کێشەی دوو-تەن

کەواتە ئەوەی کە زۆر گرنگە ئەوەیە کە کێشەی دوو-تەنی دەکرێت کەم بکرێتەوە بۆ کێشەیەکی تاکە-تەنی بە لەبەرچاوگرتنی جووڵەی ڕێژەیی:

  • ئێستا ئەوەش دەزانین کە جووڵە ڕێژەییەکە بەپێی وزەی گشتی و گوڕی گۆشەیی سیستەمەکە لە شێوەی خولگەیەکی (هێلکەیی، پارابۆڵا، یان هایپەربۆڵا) دەبێت.
  • هەڵبەت چەقی بارستاییەکە بە شێوەیەکی یەکسان لە بۆشاییدا دەجووڵێت.

دەرەنجام

ئێستا زانیمان کە بە زیادکردنی تەنێکی تر بۆ سیستەمەکە، تەنها لە ڕێگەی هاوکێشەکانی جووڵەوە دەتوانین جووڵەی هەردوو تەنەکە لەژێر کاریگەری کێشکردنی دوولایەنەدا بەبێ هیچ ناڕوونییەک پێناسە بکەین. چارەسەرەکەش ئەوەیە کە لە ڕێگەی شیکردنەوەی هاوکێشەکانەوە دەتوانین کێشەی دوو-تەن کەم بکەینەوە بۆ پێکهاتەیەکی سادەتری وەک: جووڵەی چەقی بارستایی و جووڵەی ڕێژەیی. ئەم تێگەیشتنە دەکەینە بنەمایەک بۆ کێشە ئاڵۆزترەکانی، وەک کێشەی سێ-تەن و زیاتر، هەمان تێگەیشتن یارماتیمان دەدات بزانین ئەوەی کەوادەکات هەمان چارەسەر بۆ کێشەی سێ-تەن نەدۆزرێتەوە چییە!.